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Aula 15
Integrais inde¯nidas
15.1 Antiderivadas
Sendo f(x) e F(x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que
F ¶e uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F0(x) = f(x)
para todo x 2 I.
Ou seja, F ¶e antiderivada ou primitiva de f se F ¶e uma fun»c~ao cuja derivada ¶e f.
Como primeiros exemplos, temos
f(x) primitiva de f(x)
3x2 x3
2 2x
ex ex
sen x ¡cos x
Observa»c~ao 15.1 Se F ¶e antiderivada de f em I, e c ¶e uma constante, ent~ao F +c
tamb¶em ¶e uma antiderivada de f em I.
De fato, se F0(x) = f(x), para todo x 2 I, ent~ao
[F(x) + c]0 = F0(x) = f(x), e portanto F(x) + c tamb¶em ¶e uma antiderivada de
f(x) em I.
Assim, por exemplo x3, x3 + 5 e x3 ¡
p
2 s~ao primitivas de 3x2.
Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»c~ao
diferem entre si por uma constante.
Proposi»c~ao 15.1 Se F1 e F2 s~ao antiderivadas de f, em I ½ R, ent~ao existe c 2 R
tal que F1(x) = F2(x) + c, para todo x 2 I.
125
Integrais indefinidas 126
Para demonstrar a proposi»c~ao 15.1, faremos uso do seguinte resultado.
Lema 15.1 Se f ¶e cont¶³nua no intervalo [a; b] e f0(x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~ao
f ¶e constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f(x) = c para todo x 2 [a; b].
Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este
lema ¶e conseqÄu^encia de um teorema importante sobre fun»c~oes deriv¶aveis, conhecido
como teorema do valor m¶edio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶edio
mais adiante, julgamos oportuno cit¶a-lo agora.
Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶edio) Suponhamos que f ¶e uma fun»c~ao cont
¶³nua no intervalo [a; b] e deriv¶avel no intervalo ]a; b[. Ent~ao existe w 2]a; b[ tal que
f(b) ¡ f(a)
b ¡ a
= f0(w)
Aceitaremos este teorema sem demonstra»c~ao, e faremos uma interpreta»c~ao geom
¶etrica de seu resultado.
O quociente
f(b) ¡ f(a)
b ¡ a
¶e a taxa de varia»c~ao m¶edia,
¢f
¢x
, da fun»c~ao f, no intervalo
[a; b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f(b) ¡ f(a).
Ele ¶e o coe¯ciente angular da reta passando por A = (a; f(a)) e B = (b; f(b)).
O teorema do valor m¶edio diz que essa taxa de varia»c~ao m¶edia ¶e tamb¶em a taxa de
varia»c~ao instant^anea de f, em rela»c~ao a x, df=dx, em algum ponto w no interior do
intervalo. Em termos geom¶etricos, a inclina»c~ao da reta AB coincide com a inclina»c~ao
de uma reta tangente ao gr¶a¯co de f em um ponto (w; f(w)), para algum w 2]a; b[ .
A ¯gura 15.1 ilustra o teorema do valor m¶edio.
a
y
0 b
f(a)
f(b)
w
A
B
Figura 15.1.
f(b) ¡ (f(a)
b ¡ a
= f0(w).
Uma interpreta»c~ao cinem¶atica do teorema do valor m¶edio ¶e a seguinte: a velocidade
m¶edia de um ponto m¶ovel, em movimento retil¶³neo, no intervalo de tempo [t1; t2],
coincide com sua velocidade instant^anea em algum instante t0 2]t1; t2[, isto ¶e,
¢s
¢t
=
s(t2) ¡ s(t1)
t2 ¡ t1
= s0(t0) em um instante t0, com t1 < t0 < t2
Integrais indefinidas 127
Por exemplo, se um carro, com velocidade vari¶avel, faz um percurso de 180 km
em duas horas, sua velocidade m¶edia ¶e 180km
2h = 90km/h. Intuitivamente, sabemos que
em algum instante do percurso, seu veloc¶³metro acusar¶a a velocidade instant^anea de
90 km/h.
Demonstra»c~ao do lema 15.1. Suponhamos f0(x) = 0 para todo x 2 I, sendo I ½ R um
intervalo.
Mostraremos que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, x1 < x2, tem-se f(x1) =
f(x2), e portanto f ¶e constante em I.
Temos f cont¶³nua em [x1; x2] e deriv¶avel em ]x1; x2[.
Pelo teorema do valor m¶edio,
f(x2) ¡ f(x1)
x2 ¡ x1
= f
0
(w) para algum w 2]x1; x2[ .
Como f0(w) = 0, temos f(x1) = f(x2), e nossa demonstra»c~ao termina aqui.
Demonstra»c~ao da proposi»c~ao 15.1. Suponhamos que, F0
1(x) = F0
2(x) = f(x) para todo
x 2 I, I um intervalo de R.
Consideremos a fun»c~ao ' = F1 ¡ F2.
Ent~ao, '0(x) = F0
1(x) ¡ F0
2(x) = f(x) ¡ f(x) = 0, para todo x 2 I.
Pelo lema 15.1, ' ¶e constante no intervalo I.
Assim, existe c 2 R tal que F1(x) ¡ F2(x) = c para todo x 2 I.
Portanto F1(x) = F2(x) + c, para todo x 2 I.
De¯ni»c~ao 15.1 (Integral inde¯nida) Sendo F uma primitiva de f no intervalo I,
chama-se integral inde¯nida de f, no intervalo I, μa primitiva gen¶erica de f em I,
F(x) + C, sendo C uma constante real gen¶erica. Denotamos tal fato por
Z
f(x) dx = F(x) + C
Nesta nota»c~ao, omite-se o intervalo I.
15.2 Integrais imediatas
Coletaremos agora algumas integrais inde¯nidas cujo c¶alculo ¶e imediato.
Proposi»c~ao 15.2
1.
R
x® dx =
x®+1
® + 1
+ C, se ® 6=
¡1.
2.
Z
1
x
dx = lnjxj + C.
Integrais indefinidas 128
3.
R
senxdx = ¡cos x + C.
4.
R
cosxdx = sen x + C.
5.
R
ex dx = ex + C.
6.
R
ax dx =
ax
ln a
(a > 0; a6= 1).
7.
R
sec2 xdx = tgx + C.
8.
R
cosec2 xdx = ¡cotg x + C.
9.
R
sec x ¢ tg xdx = secx + C.
10.
R
cosec x ¢ cotg xdx = ¡cosec x + C.
11.
Z
1
1 + x2 dx = arc tg x + C.
12.
Z
p 1
1 ¡ x2
= arcsenx + C.
Para a dedu»c~ao das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo
membro, em cada igualdade, ¶e a fun»c~ao que se encontra sob o sinal de integra»c~ao.
Como exemplos,
se ® 6=
¡1,
μ
x®+1
® + 1
¶0
= (® + 1) ¢ x®+1¡1
® + 1
= x®.
(ln jxj)0 = 1=x:
se x > 0, (ln jxj)0 = (lnx)0 = 1=x;
se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 =
1
¡x
¢ (¡x)0 = 1=x.
(ax)0 = ax ¢ ln a, logo
μ
ax
ln a
¶0
=
ax ln a
ln a
= ax.
15.3 Manipula»c~oes elementares de integrais
Suponhamos
R
f(x) dx = F(x) + C1, e
R
g(x) dx = G(x) + C2. Ent~ao
1. [F(x) + G(x)]0 = F0(x) + G0(x) = f(x) + g(x), logo
R
(f(x)+g(x)) dx = F(x)+G(x)+C =
R
f(x) dx+
R
g(x) dx (C = C1+C2).
2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F(x)]0 = k ¢ F0(x) = k ¢ f(x), logo
R
kf(x) dx = kF(x) + C = k
R
f(x)

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amigos

meus amigos comentem apreciam como é bom contribuir para a educaçao e imformaçao do nosso pais ANGOLA e a nossa cidade LUANDA

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conversssar

este site é bwé
fixe

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paulo

Antes de tudo gostaria de agradeser todos os menbros destes jornal:(manuel esta de dicatoria vai espesial para o paulo e je...)
Em um mundo repleto de ódio, nós devemos ousar ter esperança. Em um mundo repleto de raiva nós devemos ousar oferecer conforto. Em um mundo repleto de desespero nós devemos ousar ter sonhos. Em um mundo repleto de desconfiança nós devemos ousar acreditar
vamos comtinura comfrome estamos falta poco para o nosso obj....com..triza paulo espero a resposta.liga para manuel presizamos asertar algumas coisa............continua assim....goste muito das noviades apresenta no saite.(marca uma reniao)











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VISAO

VISÃO BANCARIA DA EDUCAÇÃO
2006-07-05 20:08





A VISÃO BANCARIA DA EDUCAÇÃO




Se o educador é aquele que sabe, se o alunos são os que não sabem , cabe ao primeiro dar , entregar, transmitir, tranferir seu saber aos segundos. E este saber não é mais aquele da experiencia vivida , mas sim o da experiencia narrada ou transmitida.

Não é de supreender , então, que nesta visão bancária da educação os homens sejam considerados como seres destinados a se adaptar, a se ajustar, Quanto mais os alunos se empenham em arquivar os depósitos que lhes são entregues, tanto menos eles desenvolvem em si a consciéncia crítica que lhes permitiria inserir-se no mundo como agentes de sua transformação, como sujeitos.


Quanto mais se lhes impõe a passividade, tanto mais, de maneira primária, ao invés de transformaro mundo, eles tendem a se adaptar á realidade fragmentada contida nos depósitos recebidos.


Importância da sociologia da Educação para o educador

sociologia da Educação é uma disciplina fundamental para o educador. Ela abre o horizonte para a compreensão da vida social em si: esclarece o processo educativo e as relaçães entre a escola e a sociedade, e analisa a escola como grupo social e sua estrutura interna (nascida da convivência entre educandos e educadores), que escapa ao administrador e só pode ser compreendida através da análise sociológica da escola.

A sociologia da educação também explica a influência da escola no cmportamento e na personalidade de seus membros, estuda os padrões de interação entre escola e demais grupo sociais da comunidade e analisa os sistemas escolares á luz dos sistemas sociais permitindo, com base em estudos da realidade social, que se compreenda o papel da educação na sociedade e em seu desenvolvimento e que se proponham reformas educacionais, com base nesses alicerces cientificos.

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falar com Manuel sebastiao

oi manuel

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Re:falar com paulo

novidades sobero j.....

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Re:falar com Manuel sebastiao

Young Nucho "O Angolano" que deixou Lil Wayne furioso na Africa do Sul

QEM É QUEM? Chama-se Young Nucho é angolano e reside na Africa do Sul. Recentemente, Lil Wayne esteve na Africa do Sul e ficou irritado com Young Nucho que ele considerou uma cópia mal feita. De acordo com algumas noticias veiculadas em vários sites, Wayne interpelou Nucho num club em Johannesburg e Mack Maine pediu a Nucho pra sair do Club mas este se recusou. Mais tarde Young Nucho tentou chegar perto de Lil Wayne mas instalou-se uma confusão e Wayne abandonou o club chamando nomes ao pessoal presente e em especial ao seu fã/copia. Pergunta: O QUE SERIA SE ELE VIESSE EM ANGOLA? Veja o video de Young Nucho se explicando.

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Re:falar com Manuel sebastiao

A escola é vista com uma escada que permite à gente subir na vida
2011-09-03 16:31











Ninguém esta contente com a escola que está aí, mas todo mundo sonha com uma outra escola, uma escola que funcione bem e que cumpra seu papel, que é dar instrução a todos. Todo mundo quer que a escola seja essa espécie de escada que conduz a um andar superior, a uma melhoria de vida, a um melhor emprego com melhor salário.

Essa expectativa em relação ao que a escola pode e deve fazer é ainda mais forte nas camadas sociais mas pobres. Para o povo, a escola é praticamente o único meio de ascensão social, de subida na vida. O sucesso nos estudos seria a grande oportunidade oferecida a todos para compensar as desigualdades de dinheiro, de importância e de posição social.





Comentário da OLIVEIRA MARIA TERESA

“Eu sei lá, eu tenho tanto prazer de ver filho estudar, eu acho tão bonito uma criança tudo assim na escola, cada um escrevendo... De tanto achar bonito que eu num posso pôr meus filhos, né. De tanto eu tenho vontade! Tenho vontade de ver meu filho estudando, pra depois ter uma boa profissão, né, senão fica um bando de criança sem estudá, né, e que profissão vai ter? Não vai ter profissão nenhuma. Num sabe nem fazê o seu nome. Num dá alegria ver meus filhos dentro de casa, tudo sem estudar.

“É porque mais tarde eles não sofrem, eles não perecem como eu tô perecendo. Eu pereço nesse ponto, tô perecendo porque não tenho estudo. Se eu tivesse estudo não

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Re:Re:falar com Manuel sebastiao

RELAÇÕES DA PESSOA CONSIGO PRÓPRIA E COM OS OUTROS
2006-07-06 17:20





RELAÇÕES DA PESSOA CONSIGO PRÓPRIA E COM OS OUTROS

São boas maneiras, todos os aspectos humanos que, praticados no meio de outras pessoas se tornam agradáveis. Constituem-se em falta de civilidade, de civismo ou de boas maneiras, todos os aspectos humanos que, praticados, desagradam o meio social que nos rodeia, pelo que devem ser evitados.





EM CASA (NO LAR)

Os pais devem acertar os seus diferendos a sós.

Os filhos devem saudar os pais de manhã e quando voltam à casa;

Os pais não devem pronuciar palavras obscenas ou usar roupa interior supas curtas e/ou transparentes diante dos filhos;

Os filhos devem prestar serviço caseiro, sobretudo quando os pais tiverem a idade já avançadas e não só;

Não se faz barulho pela manhã, enquanto os demais membros da família não se tiverem ainda levantado da cama;

Sempre que um filho saia para o passeio ou para qualquer outra área, deve avisar os pais.

Os pais devem corrigir os seus filhos sempre que errem, indicando-lhes a posição correcta


Sempre que um filho (idóneo) note alguma anomalia no procedimento,por parte dos pais, este deve dirigir-se, com respeito e dentro das normas cívicas, ao pai ou à mãe, para a correcção.





NA RUA






Saudar as pessoas conhecidas que eventualmente encontremos pela rua;

Nunca devemos dar a mão a mais velhos ou senhoras; este é que o devem fazer.

Não usar roupas demasiado curtas ou transparentes para não ferir a moral social

Em lugares estreitos devem-se priorizar as senhoras ( que passem primeiro, depois nós);

Nos degraus, quem desce é que deve ficar do lado do corrimão e, andando um homem e uma mulher, a mulher é que deve ficar do lado do corrimão;

Não se deve comer na rua;

Não se deve urinar nem defecar na rua. Deve fazer-se esforço de se procurar um quarto de banho ( WC);

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