Aula 15
Integrais inde¯nidas
15.1 Antiderivadas
Sendo f(x) e F(x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que
F ¶e uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F0(x) = f(x)
para todo x 2 I.
Ou seja, F ¶e antiderivada ou primitiva de f se F ¶e uma fun»c~ao cuja derivada ¶e f.
Como primeiros exemplos, temos
f(x) primitiva de f(x)
3x2 x3
2 2x
ex ex
sen x ¡cos x
Observa»c~ao 15.1 Se F ¶e antiderivada de f em I, e c ¶e uma constante, ent~ao F +c
tamb¶em ¶e uma antiderivada de f em I.
De fato, se F0(x) = f(x), para todo x 2 I, ent~ao
[F(x) + c]0 = F0(x) = f(x), e portanto F(x) + c tamb¶em ¶e uma antiderivada de
f(x) em I.
Assim, por exemplo x3, x3 + 5 e x3 ¡
p
2 s~ao primitivas de 3x2.
Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»c~ao
diferem entre si por uma constante.
Proposi»c~ao 15.1 Se F1 e F2 s~ao antiderivadas de f, em I ½ R, ent~ao existe c 2 R
tal que F1(x) = F2(x) + c, para todo x 2 I.
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Integrais indefinidas 126
Para demonstrar a proposi»c~ao 15.1, faremos uso do seguinte resultado.
Lema 15.1 Se f ¶e cont¶³nua no intervalo [a; b] e f0(x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~ao
f ¶e constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f(x) = c para todo x 2 [a; b].
Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este
lema ¶e conseqÄu^encia de um teorema importante sobre fun»c~oes deriv¶aveis, conhecido
como teorema do valor m¶edio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶edio
mais adiante, julgamos oportuno cit¶a-lo agora.
Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶edio) Suponhamos que f ¶e uma fun»c~ao cont
¶³nua no intervalo [a; b] e deriv¶avel no intervalo ]a; b[. Ent~ao existe w 2]a; b[ tal que
f(b) ¡ f(a)
b ¡ a
= f0(w)
Aceitaremos este teorema sem demonstra»c~ao, e faremos uma interpreta»c~ao geom
¶etrica de seu resultado.
O quociente
f(b) ¡ f(a)
b ¡ a
¶e a taxa de varia»c~ao m¶edia,
¢f
¢x
, da fun»c~ao f, no intervalo
[a; b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f(b) ¡ f(a).
Ele ¶e o coe¯ciente angular da reta passando por A = (a; f(a)) e B = (b; f(b)).
O teorema do valor m¶edio diz que essa taxa de varia»c~ao m¶edia ¶e tamb¶em a taxa de
varia»c~ao instant^anea de f, em rela»c~ao a x, df=dx, em algum ponto w no interior do
intervalo. Em termos geom¶etricos, a inclina»c~ao da reta AB coincide com a inclina»c~ao
de uma reta tangente ao gr¶a¯co de f em um ponto (w; f(w)), para algum w 2]a; b[ .
A ¯gura 15.1 ilustra o teorema do valor m¶edio.
a
y
0 b
f(a)
f(b)
w
A
B
Figura 15.1.
f(b) ¡ (f(a)
b ¡ a
= f0(w).
Uma interpreta»c~ao cinem¶atica do teorema do valor m¶edio ¶e a seguinte: a velocidade
m¶edia de um ponto m¶ovel, em movimento retil¶³neo, no intervalo de tempo [t1; t2],
coincide com sua velocidade instant^anea em algum instante t0 2]t1; t2[, isto ¶e,
¢s
¢t
=
s(t2) ¡ s(t1)
t2 ¡ t1
= s0(t0) em um instante t0, com t1 < t0 < t2
Integrais indefinidas 127
Por exemplo, se um carro, com velocidade vari¶avel, faz um percurso de 180 km
em duas horas, sua velocidade m¶edia ¶e 180km
2h = 90km/h. Intuitivamente, sabemos que
em algum instante do percurso, seu veloc¶³metro acusar¶a a velocidade instant^anea de
90 km/h.
Demonstra»c~ao do lema 15.1. Suponhamos f0(x) = 0 para todo x 2 I, sendo I ½ R um
intervalo.
Mostraremos que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, x1 < x2, tem-se f(x1) =
f(x2), e portanto f ¶e constante em I.
Temos f cont¶³nua em [x1; x2] e deriv¶avel em ]x1; x2[.
Pelo teorema do valor m¶edio,
f(x2) ¡ f(x1)
x2 ¡ x1
= f
0
(w) para algum w 2]x1; x2[ .
Como f0(w) = 0, temos f(x1) = f(x2), e nossa demonstra»c~ao termina aqui.
Demonstra»c~ao da proposi»c~ao 15.1. Suponhamos que, F0
1(x) = F0
2(x) = f(x) para todo
x 2 I, I um intervalo de R.
Consideremos a fun»c~ao ' = F1 ¡ F2.
Ent~ao, '0(x) = F0
1(x) ¡ F0
2(x) = f(x) ¡ f(x) = 0, para todo x 2 I.
Pelo lema 15.1, ' ¶e constante no intervalo I.
Assim, existe c 2 R tal que F1(x) ¡ F2(x) = c para todo x 2 I.
Portanto F1(x) = F2(x) + c, para todo x 2 I.
De¯ni»c~ao 15.1 (Integral inde¯nida) Sendo F uma primitiva de f no intervalo I,
chama-se integral inde¯nida de f, no intervalo I, μa primitiva gen¶erica de f em I,
F(x) + C, sendo C uma constante real gen¶erica. Denotamos tal fato por
Z
f(x) dx = F(x) + C
Nesta nota»c~ao, omite-se o intervalo I.
15.2 Integrais imediatas
Coletaremos agora algumas integrais inde¯nidas cujo c¶alculo ¶e imediato.
Proposi»c~ao 15.2
1.
R
x® dx =
x®+1
® + 1
+ C, se ® 6=
¡1.
2.
Z
1
x
dx = lnjxj + C.
Integrais indefinidas 128
3.
R
senxdx = ¡cos x + C.
4.
R
cosxdx = sen x + C.
5.
R
ex dx = ex + C.
6.
R
ax dx =
ax
ln a
(a > 0; a6= 1).
7.
R
sec2 xdx = tgx + C.
8.
R
cosec2 xdx = ¡cotg x + C.
9.
R
sec x ¢ tg xdx = secx + C.
10.
R
cosec x ¢ cotg xdx = ¡cosec x + C.
11.
Z
1
1 + x2 dx = arc tg x + C.
12.
Z
p 1
1 ¡ x2
= arcsenx + C.
Para a dedu»c~ao das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo
membro, em cada igualdade, ¶e a fun»c~ao que se encontra sob o sinal de integra»c~ao.
Como exemplos,
se ® 6=
¡1,
μ
x®+1
® + 1
¶0
= (® + 1) ¢ x®+1¡1
® + 1
= x®.
(ln jxj)0 = 1=x:
se x > 0, (ln jxj)0 = (lnx)0 = 1=x;
se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 =
1
¡x
¢ (¡x)0 = 1=x.
(ax)0 = ax ¢ ln a, logo
μ
ax
ln a
¶0
=
ax ln a
ln a
= ax.
15.3 Manipula»c~oes elementares de integrais
Suponhamos
R
f(x) dx = F(x) + C1, e
R
g(x) dx = G(x) + C2. Ent~ao
1. [F(x) + G(x)]0 = F0(x) + G0(x) = f(x) + g(x), logo
R
(f(x)+g(x)) dx = F(x)+G(x)+C =
R
f(x) dx+
R
g(x) dx (C = C1+C2).
2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F(x)]0 = k ¢ F0(x) = k ¢ f(x), logo
R
kf(x) dx = kF(x) + C = k
R
f(x)